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复试科目

概率统计

一、考查目标
概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的数学学科。本科目主要考查考生对概率论与数理统计的基本概念和基本方法的掌握程度，分析和求解较为复杂的概率论与数理统计问题的能力。要求考生能够正确理解概率论与数理统计的基本概念和基本定理，掌握事件的概率、常见分布的期望和方差的计算方法，熟练掌握随机变量的分布，解决一些经典模型的参数估计及假设检验问题，熟练进行方差分析和一元线性回归分析。

二、试卷结构
1、题型结构
解答题（100分），共计100分。
2、 内容结构
概率论内容（约占50%）、数理统计内容（约占50%）。

三、考试内容和要求
1、概率论
考试内容：随机事件与概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、大数定律及中心极限定理
考试要求：理解样本空间、随机事件的概念，掌握随机事件的关系与运算；掌握计算概率的古典方法；掌握概率的基本性质；了解条件概率的意义及性质，熟练掌握乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。熟练掌握分布函数与分布列、概率密度函数相互转化的方法；会计算数学期望和方差；掌握常用随机变量的分布；了解随机变量函数的分布。理解联合分布函数的概念及其性质；熟练掌握联合分布列求边际分布列、联合密度函数求边际密度函数的方法；理解随机变量的独立性；会计算协方差和相关系数；了解二维随机变量函数的分布、条件分布和条件期望。了解依概率收敛和依分布收敛的概念及性质；理解大数定律和中心极限定理，会利用中心极限定理求解近似概率问题。
2、数理统计
考试内容：参数估计、假设检验、方差分析及回归分析
考试要求：了解总体和样本的概念；理解统计量的概念，熟练掌握正态总体的样本均值的抽样分布；掌握三大抽样分布。了解点估计的概念；理解估计的无偏性、有效性和相合性；熟练掌握参数的矩估计和最大似然估计；熟练掌握正态总体参数的置信区间；了解最小方差无偏估计和贝叶斯估计的概念。理解假设检验的基本思想与概念；掌握正态总体参数的假设检验。熟练掌握单因素方差分析；熟练掌握一元线性回归方程的求法，掌握回归方程的显著性检验。

  四、推荐书目：
1、茆诗松，程依明，濮晓龙，《概率论与数理统计教程，第二版》，高等教育出版社，2011
 
常微分方程

一、考查目标
常微分方程课程是进一步学习本学科后续课程必不可少的一门课程。它是数学学科联系实际的重要途径之一。本科目主要考查考生对常微分方程的基本概念和基本理论的理解程度；分析和求解一阶微分方程、高阶线性微分方程、线性微分方程组的能力；以及对自治系统平衡点稳定性的基本理论的掌握程度。

二、试卷结构
1、题型结构
解答题（100分），共计100分。
3、 内容结构
一阶微分方程的初等积分法（约占40%）、高阶线性微分方程（约占30%）、线性微分方程组（约占20%）、非线性微分方程（约占10%）。

三、考试内容和要求
1、一阶微分方程的初等积分法
理解微分方程的基本概念；掌握一阶显式常微分方程的基本类型的判别和解法（包括变量分离法、常数变易法、恰当方程与积分因子法）；理解一阶隐式微分方程的四种类型求解的基本思路，并掌握其基本解法；了解一阶微分方程解的存在唯一性定理及解对初值的连续依赖性与可微性等相关定理。
2、高阶线性微分方程
了解高阶线性微分方程初值问题解的存在唯一性定理；理解n阶线性齐次微分方程与n阶线性非齐次微分方程解的性质与结构；掌握特征根法求解n阶常系数线性齐次方程与比较系数法求解n阶常系数线性非齐次方程。
3、线性微分方程组
了解线性微分方程组解的存在唯一性定理，熟悉用向量和矩阵的形式表示线性微分方程组；理解齐次线性方程组解的结构；掌握基本解组、基解矩阵、矩阵指数的概念和关系；理解非齐次线性方程组解的结构；会利用常系数线性齐次微分方程组系数矩阵的特征值、特征向量求基解矩阵；了解常系数非齐次微分方程组的求解方法。
4、非线性微分方程
了解非线性微分方程稳定性的概念和理论，包括按线性近似决定稳定性和李雅普诺夫函数法判定稳定性等；掌握二阶自治系统平衡点的类型及稳定性。

四、推荐书目：
1、王高雄等，《常微分方程，第三)》，高等教育出版社， 2006
2、韩祥临等，《常微分方程简明教程》，浙江大学出版社，2013
 
同等学力加试科目：

泛函分析

一、考查目标
泛函分析是数学专业的基础课。它形成于20世纪30年代，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。泛函分析可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析，是学习现代数学必不可少理论基础，为学习现代数学，特别是偏微分方程，概率论，计算数学等学科分支提供了强有力的研究方法。

二、试卷结构
1、题型结构
名词解释（30分）、简答题（30分）、证明题（40分），共计100分。
4、 内容结构
度量空间和赋范线性空间（25%）、有界线性算子和连续线性泛函（15%）、内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间（25%）、巴拿赫空间中的基本定理（20%）、线性算子的谱（15%）。

三、考试内容和要求
1、度量空间和赋范线性空间
度量空间定义及例子，度量空间中的极限、稠密集、可分空间，连续映射，完备度量空间，压缩映射原理及其应用，赋范线性空间和巴拿赫空间定义与例子。
2、有界线性算子和连续线性泛函
有界线性算子和连续线性泛函的定义与例子；有界线性算子空间和共轭空间的定义与例子。
3、内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间
内积空间的定义与例子，投影定理，希尔伯特空间中的规范正交系，希尔伯特空间上的连续线性泛函，自伴算子、酉算子和正常算子。
4、巴拿赫空间中的基本定理
泛函延拓定理及其应用，C[a，b]的共轭空间，共轭算子，纲定理和一致有界性定理，强收敛、弱收敛和一致收敛的定义及例子，逆算子定理，闭图像定理
5、线性算子的谱
谱的概念及例子，有界线性算子谱的基本性质，紧集和全连续算子的谱，自伴全连续算子的谱论。

四、推荐书目：
1、程其襄，张奠宙，魏国强等编著，《实变函数与泛函分析基础，第三版》，高等教育出版社，2010.
2、汪林编著，《泛函分析中的反例》,高等教育出版社，2014.

近世代数

一、考查目标
近世代数是以研究代数结构的性质、构造与分类为中心的一门学科，是现代数学各个分支的基础学科之一。要求学生通过本课程的学习，掌握近世代数的基本概念与基本理论，主要包括群、环、域等基础理论，培养抽象思维的能力。考试目的主要考察学生对群、环、域这三类较为常见的代数结构的概念和及其性质的掌握程度，以及学生利用相关知识进行抽象思维的能力。

二、试卷结构
1、题型结构
计算题（约40%），证明题（约60%），共计100分
2、内容结构
群论（约40%），环论(约40%），域论（约20%）

三、考试内容及要求
      1、群论
考试内容：关系、等价关系与划分的对应、群论的基本概念（包括子群、陪集、群同态、循环群、置换群、群的直积、群作用等）、性质及循环群的结构、群同态基本定理、拉格朗日定理、西罗定理、轨道稳定子公式等基本定理。
考试要求：了解集合、映射、关系以及等价类的概念；理解等价关系和划分的对应。理解群、子群、生成子群、群同构、循环群、置换群和对称群等概念，会证明两个群是否同构，熟练掌握循环群的性质、结构及分类，掌握置换的轮换分解定理，了解置换在对称变换群中的应用。掌握左右陪集的概念和性质，会用拉格朗日定理和指数公式，熟练掌握正规子群和商群的概念及性质，熟练掌握群同态的概念及同态定理，掌握群的内外直积的概念和性质，熟练掌握群作用的概念及轨道稳定子定理，了解伯恩塞德引理，熟练掌握西罗定理及其应用，会判断一个群是否单群。
2、环论
考试内容：环、子环、理想、零因子、整环、欧氏环、主理想整环等
考试要求：掌握环和子环的概念和性质，掌握左右零因子、无零因子环、整环、除环、除环、体、域的区别，熟练掌握理想、主理想、商环的概念，掌握环同态定理和环的扩张定理，掌握素理想和极大理想的区别和联系，掌握环的特征、素域的概念。了解多项式环，整环的商环的概念，掌握唯一分解整环的概念及其性质，掌握主理想整环和欧几里得整环的概念及其性质，了解各类整环的区别和联系。
3、 域论
考试内容：向量空间、子空间、域扩张(单扩张、有限扩张、代数扩张）、分裂域。
考试要求：掌握向量空间、子空间及空间维数的概念、掌握扩域、单扩张、有限扩张、及域论基本定理，掌握代数数、超越数、代数扩张、极小多项式、不可约多项式的概念，了解分裂域、完备域的概念及其性质，了解有限域的概念和性质。

四、推荐书目
   韩士安、林磊. 近世代数(第二版). 北京：科学出版社, 2009