研线小课堂 | 排列组合中的分房问题

排列组合是我们考试中很重要的一块内容,也是分值占比较大的一块。奈何这一块的题型多变,形式复杂,出题人变着花样玩儿我们。我们往往找不着规律,很难下手。

其中有一块内容很有意思,大家差不多都知道答案的样子长啥样,但往往又容易搞混,不知具体该选择哪一个。这就是“分房问题”。

例如:3个人随机进入5个房间,共有多少种方法?

这种问题的答案往往是这样的:

很多同学都能排除其他选项,但都搞不清楚,到底是应该选A还是选B?今天我们就来把这个问题好好地讲讲。

1,认识一个人,要多层次、多角度、多方面去观察、思考。同样的,我们做一种类型的题,要想搞清楚里面的门道,也要掌握不同的解题方法。

对于分房问题,因为模型比较简单,我们打算讲两种方法。当然,每种方法,我都会用2道题来让你深刻理解。

一、首先我们来看最正经的“分房问题”:如下

3个人随机进入5个房间,共有多少种方法?

假设我们现在让第一个人来选择进入房间,那这个人有多少种进房间的选择呢?很明显,他有5种选择,他想进哪个房间都可以,所以他有5种选择方案。

根据乘法原理,第一个人选择好以后,事情还没有完成,我们还需要第二个人和第三个人完成选择,也就是第2步和第3步。第2个人和第3个人都有5种选择方案,所以最终的结果就应该是:

在这道题中,人是活的,房间是死的。人具有选择性,而房间是被选择的。所以谁具有选择性,谁就应该骑在别人头上。谁是被选择的,谁就应该“被压迫”。

人具有选择性,所以人的数字应该在上面。房间不具备选择性,所以房间的数字应该在下面。所以答案是:B。

二、上面那道题是“正宗”的“分房问题”,下面我们换个场景,换个数据来试试,看我们能否快速地做出答案。例如:

10个人坐公交车,经过8个车站,中间没人上车,请问下车方式有多少种?

这个和上个题目很类似,其中人是具有选择性的,站点是被选择的,所以人的数目要“骑上去”,站点的数目要“蹲下来”,所以答案就是8的10次方。

三、其他的类似于5个学生,每人只参加1个社团,共4个社团可选;5名运动员,参与4项体育运动,只能报名一项运动,等等,都是同样的思路。

我们来总结一下,这种方法的思路就是一句话:

谁有选择性,谁就是上流!

2,一个问题当然不止一种解法,不同的解法适合不同的人来理解。下面我们就还拿上面的两道题,从另一个角度来讲一讲。

四、仍然是最正经的“分房问题”:如下

3个人随机进入5个房间,共有多少种方法?

我们不再用选择和被选择的角度,我们换一个角度。我们来这样子思考:所有的房子能不能归到同一个人名下(家里好几套房子的娃儿,快闪开),当然是不能!那所有的人能不能归到同一个房间里面呢?也就是所有的人(3个人而已)能不能进入到所有的房间里呢?是可以的,这个时候,我们就说房间是个“大吃货”,它能把所有的人都吃到肚子里去。

人和房间比起来,房间算是“吃货”,因为它能容纳所有的人。而人在这里不是“吃货”,因为一个人不能同时进所有的房间。

“吃货”嘛,爱吃当然容易胖了,胖了自然就体重偏大,分量大自然就比较接地气一点,对应的数字就在下面啦!

因为房间代表“吃货”,所以它对应的数字5就在下面。所以答案是:5的3次方

②下面我们换个场景,换个数据来试试,看我们能否快速地做出答案。

例如:10个人坐公交车,经过8个车站,中间没人上车,请问下车方式有多少种?

在这道题里面,一个人不能在每一个车站都下车,但是同一个车站,可以让所有的乘客都下车,所以我们可以说,车站具有“吃货”的性质,所以车站的数字就在下面,所以答案是8的10次方。

③其他的类似于5个学生,每人只参加1个社团,共4个社团可选;5名运动员,参与4项体育运动,只能报名一项运动,等等,都是同样的思路。如社团是“吃货”,体育运动是“吃货”。

我们来总结一下,这种方法的思路就是判断:

谁要是吃货,谁就在下层!

品,你品,你细品!只顾着吃,不顾着学习和思考的,只能活在底层了!数学中蕴含着多么丰富的道理啊!

3,当然,上面两个方法都很简单,对应的题也很简单。现在我们来一个这类题型中偏难一些的,也就是学渣容易蒙对,而学霸容易做错的题。

看招:5个人竞选3名班干部(擦黑板专员、最后一排之排长、风扇开关总管),请问有多少种方法?

这个应该是3的次方还是5的3次方?答案是

有同学不服气了,根据老师你,您刚才讲的选择性来说,人才有选择性,人的数字应该在上头啊。

不是这样的。不是说谁是活物,谁就具有选择性的!人有时候是身不由己的!

从选择性来说,人是不具备选择性的,你以为你想当最后一排的排长,你就能当上啊!在这里,班干部的职位是具有选择性的。比如风扇开关总管这个职位,我从5个人里选,我想让谁当,谁就当。所以在这里,职位反而是具有选择性的,所以职位的数字3应该在上头。

那从“吃货”角度呢?也不难理解,一个人可以同时兼任这3个职位,但是一个职位,可不能够让5个人都干。所以人在这里是具有“吃货”性质的,所以人的数字5是在下面的。

其他的比如还有:5个人争夺3项比赛的冠军。也是同样的道理,一个人可以同时拿3项冠军,但一个冠军不能是5个人都得。

4,总结一下,我们总共讲了两种思路:

谁有选择性,谁就是上流!

谁要是吃货,谁就在下层!

数学很枯燥,学着学着就容易恼羞成怒、心怀怨恨!因此学习过程中给自己找点乐子很有必要,这期的乐子如何?是不是讲出了硬核鸡汤的赶脚?欢迎点赞评论点在看!我们下期再见!

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